L’orthocentre est le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle, sachant que la hauteur est une droite passant par le sommet d’un triangle et perpendiculaire au coté opposé à ce sommet. Pour bien expliquer comment construire l’orthocentre, on suppose qu’on a un triangle ABC.
- On commence à tracer la hauteur passant par A et perpendiculaire à BC à l’aide d’un équerre, on prolonge le trait de la hauteur en utilisant une règle et on code l’angle droit.
- On trace ensuite la hauteur passant par le sommet B et perpendiculaire à AC avec les mêmes étapes que la précédente.Quand on est dans le cas d’un triangle possédant un angle obtus supérieur à l’angle droit, on est obligé de prolonger le coté opposé au sommet avant de pouvoir dessiner la hauteur.
- On termine par la hauteur passant par C et perpendiculaire à AB. Le point d’intersection des trois hauteurs prolongées suffisamment est l’orthocentre, il peut être à l‘intérieur ou à l’extérieur du triangle.
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre d’un triangle
Supposant qu’on a un triangle ABC, connaissant les coordonnées de ces trois sommets A(-4;2), B(0;6) et C(8;-2), il est possible déterminer les coordonnées de l’orthocentre H du triangle d’une façon analytique.
- On commence par tracer deux axes perpendiculaires, l’axe X pour les abscisses et l’axe Y pour les coordonnées.
- On place ensuite les points A, B, C sur ce repère orthonormal puis on dessine le triangle ABC.
- On dessine la hauteur passant par B et perpendiculaire à AC.
- On prend un point M de cette hauteur de coordonnées (x;y); pour traduire avec une équation le fait que ce point appartient à cette hauteur on dit que le produit scalaire v(BM).v(AC)=0 puisque les deux vecteurs sont perpendiculaires.
- Sachant que quand on a un vecteur BM de coordonnés (x;y) et un vecteur AC de coordonnées (x’;y’) le produit scalaire v(BM).v(AC)=x.x’+y.y’…(1).
- En appliquant l’équation (1) sur notre cas on trouve que v(BM).v(AC)=0 est équivalente à 12.x-4.y+24=0…(2) qui est l’équation de la droite(hauteur) passant par B. Pour résoudre cette équation à deux inconnus, on aura besoin d’une deuxième équation.
- On dessine la deuxième hauteur passant par C perpendiculaire à AB, l’orthocentre M(x;y) doit obligatoirement satisfaire l’équation v(AM).v(BC)=0 ce qui va se traduire après le calcul comme étant 8.x-8.y+48=0…(3) qui est l’équation de la hauteur passant par C.
- Les coordonnées du l’orthocentre H sont les coordonnées du point d’intersection des deux hauteurs c’est qui est la solution du système d’équation (2) et (3) qu’on peut résoudre par combinaison pour obtenir enfin les coordonnées de l’orthocentre qui sont H(0;6) qui coïncide avec les coordonnées du point B, on conclut dans ce cas que ce triangle est rectangle au point B.
A quoi sert l’orthocentre d’un triangle
On dit que l’orthocentre est le double du centre, il sert ainsi pour les calculs vectoriels dans la relation d´Euler qui relie le centre du cercle circonscrit à l´orthocentre du triangle.
